發布時間：2023-03-21 17:08:57
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領域的橋梁，我們為您精選了8篇的高等數學論文樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發，請盡情閱讀。
【關鍵詞】高等數學；數學建模；教學；應用
IntegrationofMathematicsModelingThoughtintheHigherMathematicsTeaching
ZHANGMing1,HUWen-yi2,WANGXia1
(1.DepartmentofBasicsofComputerScience，ChengduMedicalCollege，Chengdu610083，China；2.ChengduUniversityofTechnology，Chengdu610059，China)
Abstract：Thepurposeofstudyinghighermathematicsistosolvepracticalproblemswiththemathematicsmethod.Itwillimprovethestudent''''sthought,knowledgeandtheabilitytosolvepracticalproblemsbyintegratingthemathematicalmodelinginhighermathematicsteaching.
Keywords：highermathematics；mathematicalModeling；teaching；application
1引言
數學教學貫穿了小學、中學、大學等諸階段的學習過程，培養了學生以高度抽象的方式來學習、理解、應用數學及相關學科的能力［1］。從基本的概念和定義出發，簡練地、合乎邏輯地推演出結論的教學過程，是學生逐漸形成縝密思維方式的過程。但不可否認的是，在醫用高等數學的教學實踐中，卻因為某些原因致使部分學生是為了“學數學”而學數學，導致興趣索然，對數學望而生畏；或者雖然對常規的數學題目“見題就會，一做就對”，但是對發生在身邊的實際問題，卻無法引進數學建模思想、思路以及基本方法，建立正確的數學模型。因此為了適應科學技術發展的需要和培養高質量、高層次的應用性人才［1］，怎樣將數學建模思想貫穿于醫用高等數學的整個教學過程中，以培養學生應用數學的意識和能力已經成為數學教學的一個重要方面。
2對數學建模在培養學生能力方面的認識
數學建模是一種微小的科研活動，它對學生今后的學習和工作無疑會有深遠的影響，同時它對學生的能力也提出了更高的要求［2］。數學建模思想的普及，既能提高學生應用數學的能力，培養學生的創造性思維和合作意識，也能促進高校課程建設和教學改革，激發學生的創造欲和創新精神。數學建模教學著眼于培養大學生具有如下能力：
2.1培養“表達”的能力，即用數學語言表達出通過一定抽象和簡化后的實際問題，以形成數學模型(即數學建模的過程)。然后應用數學的方法進行推演或計算得到結果，并用較通俗的語言表達出結果。
2.2培養對已知的數學方法和思想進行綜合應用的能力，形成各種知識的靈活運用與創造性的“鏈接”。
2.3培養對實際問題的聯想與歸類能力。因為對于不少完全不同的實際問題，在一定的簡化與抽象后，具有相同或相似的數學模型，這正是數學應用廣泛性的表現。
2.4逐漸發展形成洞察力，也就是說一眼抓住(或部分抓住)要點的能力。
3有關數學建模思想融入醫學生高等數學教學的幾個事例3.1在關于導數定義的教學中融入數學建模思想
在講導數的概念時，給出引例：求變速直線運動的瞬時速度［3,4］，在求解過程中融入建模思想，與學生一起體會模型的建立過程及解決問題的思想方法。通過師生共同分析討論，有如下模型建立過程：
3.1.1建立時刻t與位移s之間的函數關系：s=s(t)。
3.1.2平均速度近似代替瞬時速度。根據已有知識，僅能解決勻速運動瞬時速度的問題，但可以考慮用某段時間中的平均速度來近似代替這段時間中某時刻的瞬時速度。對于勻速運動，平均速度υ是一常數，且為任意時刻的速度，于是問題轉化為：考慮變速直線運動中瞬時速度和平均速度之間的關系。我們先得到平均速度。當時間由t0變到t0+Δt時，路程由s0=s(t0)變化到s0+Δs=s(t0+Δt)，路程的增量為：Δs=s(t0+Δt)－s(t0)。質點M在時間段Δt內，平均速度為：
υ=Δs/Δt=s(t0+Δt)－s(t0)/Δt(1）
當Δt變化時，平均速度也隨之變化。
3.1.3引入極限思想，建立模型。質點M作變速運動，由式（1）可知，當｜Δt｜較小時，平均速度υ可近似看作質點在時刻t0的“瞬時速度”。顯然，當｜Δt｜愈小，其近似程度愈好，引入極限的思想來表示｜Δt｜愈小，即：Δt0。當Δt0時，若趨于確定值（即極限存在），該值就是質點M在時刻t0的瞬時速度υ，于是得出如下數學模型：
υ=limΔt0υ=limΔt0Δs/Δt=limΔt0s(t0+Δt)－s(t0）/Δt
要求解這個模型，對于簡單的函數還比較容易計算，而對于復雜的函數，極限值很難求出。但觀察到，當拋開其實際意義僅從數學結構上看，這個數學模型實際上表示函數的增量與自變量增量比值、在自變量增量趨近于零時的極限值，我們把這種形式的極限定義為函數的導數。有了導數的定義，再結合導數的運算法則和相關的求導法則，前面的這個模型就從求復雜函數的極限轉化為單純求導數的問題，從而很容易求解。
3.2在定積分定義及其應用教學中融入數學建模思想對于理解與掌握定積分定義及其在幾何、物理、醫學和經濟學等方面的應用，關鍵在于對“微元法”的講解。而要掌握這個數學模型，就一定要理解“以不變代變”的思想。以單位時間內流過血管截面的血流量為例，我們來具體看看這個模型的建立與解決實際問題的整個思想與過程。
假設有一段長為l、半徑為R的血管，一端血壓為P1，另一端血壓為P2(P1＞P2)。已知血管截面上距離血管中心為γ處的血液流速為
V(r)=P1－P2/4ηl(R2－r2)
式中η為血液粘滯系數，求在單位時間內流過該截面的血流量［3,4］（如圖1（a））。
圖1
Fig.1
要解決這個問題，我們采用數學模型：微元法。
因為血液是有粘性的，當血液在血管內流動時，在血管壁處受到摩擦阻力，故血管中心流速比管壁附近流速大。為此，將血管截面分成許多圓環來討論。
建立如圖1（b）坐標系，取血管半徑γ為積分變量，γ∈［0,R］于是有如下建模過程：
①分割：在其上取一個小區間［r,r+dr］，則對應一個小圓環。
②以“不變代變”（近似）：由于dr很小，環面上各點的流速變化不大，可近似看作不變，所以可用半徑為r處圓周上流速V(r)來近似代替。此圓環的面積也可以近似看作以圓環周長2πr為長，dr為寬的矩形面積2πrdr，則該圓環內的血流量可近似為：ΔQ≈V（r）2πrdr，則血流量微元為：dQ=V(r)2πrdr
③求定積分：單位時間內流過該截面的血流量為定積分：Q＝R0V(r)2πrdr。
以上實例，體現了微元法先分割，再近似，然后求和，最后取極限的建模過程，并成功把所求量表示成了定積分的形式，最終可以應用高等數學的知識求出所求量的建模思想。
4結語
高等數學課的中心內容并不是建立數學模型，我們只是通過數學建模強化學生的數學理論知識的應用意識，激發學生學習高等數學的積極性和主動性。所以在授課時應從簡潔、直觀、結合實際入手，達到既有助于理解教學內容，又可以通過對實際問題的抽象、歸納、思考，用所學的數學知識給予解決。所選的模型，最好盡可能結合醫學實際問題，且具一定的趣味性，從而使學生體會到數學來源于生活實際，又應用于生活實際之中，以激發學生學好數學的決心，提高他們應用數學解決實際問題的能力［5］。
總之，高等數學教學的目的是提高學生的數學素質，為進一步學習其專業課打下良好的數學基礎。教學中融入數學建模思想，可使學生的想象力、洞察力和創造力得到培養和提高的同時，也提高學生應用數學思想、知識、方法解決實際問題的能力。
【參考文獻】
［1］洪永成，李曉彬.搞好數學建模教學提高學生素質［J］.上海金融學院學報，2004，3：（總63)6.
［2］姜啟源.數學模型［M］.北京:高等教育出版社，1993，6.
［3］梅挺，鄧麗洪.高等數學［M］.北京:中國水利水電出版社，2007，8.
從長遠發展的角度看，這一改變是非常有利于學生的學習和進步的。數學是一門非常具有邏輯性和連續性的學科，對于高等代數來說尤為如此。所以在學生高等代數的學習上，更不能出現高中老師認為“這是大學老師該講的內容”、而大學老師卻認為“這是高中已經學過的內容”的現象發生。這對于學生來講是非常不負責任的。所以我們應該正確的看待新課改所給高中數學中的高等代數帶來的影響，改變是進步的必經之路，只有不斷創新，才能不斷發展。
二、新課改對于高中高等代數學習的影響分析
高中數學的新課改讓學生們對高等代數有了一定的初步認識和了解，這對于大學所學的高數內容來看有很大的鋪墊意義。多項式因式分解的理論與方法、線性方程組理論意義、行列式在中學數學解題中的應用、矩陣與幾何變換、歐氏空間與中學幾何、向量的線性關系的幾何意義、集合與映射等等，這些有關高等代數的內容的學習既可以向學生們展示高等數學的學習思路和學習內容，又可以促進學生學習數學的系統邏輯性的認識，從而充分的發揮數學優勢，利用高等數學的學習方法和邏輯思維去解決問題，提高學生的思想性和認識性。在中學代數里，多項式中的x只能代表數，而在高等代數里，多項式中的文字x可作允許的各種解釋（如x可以代表矩陣、線性變換等）。再比如，線性空間中定義了一種加法運算，它可以是數的加法，多項式的加法，矩陣的加法。在高等代數中，由于概念的高度抽象性，作為概念之間規律性聯系的定理，也一般是大量事實的高度概括。不管怎么說，高中數學為高等代數的許多學習內容奠定了基石，同時，高等代數也讓高中數學知識在大學得到了深入的提高和延伸，并且有效地解釋了許多高中數學沒能解釋清的問題，從這一點上看，高中數學的新課改對于運用現代數學的觀點、原理和方法指導高等代數教學具有非凡的現實意義。新課改對高等代數學習有明顯的有益影響，對于初等數學與高等數學的融合，數學各部分的融合，幾何概念和算術概率的融合，數學與應用數學的融合，感性與理性的融合等，不僅在數學教育中，更是在整個現代化教育中為學生的德育和優育做好的由學習思維引發的德操思維的轉化。當然，有利必有弊，高中數學的新課改也會給高等代數的學習帶來一些弊端。由于在高中數學的教學內容上所涉及到的高數知識凌亂而不系統，這會給高中學生本身的學習造成很大困擾。因為在高中數學中，這些高等代數的知識不講來龍去脈、演變歸納，只是讓人利用公式解決問題，這一點上對于高中學生來說是一個很大的困難。高中數學的教學內容上對三角函數的內容大幅度減少了，學生也很難去求解，而在大學時，高等代數求解必須重新學習三角函數，對高等代數的學習造成很不利的影響。盡管課改還存在著不足和缺憾，但是相信隨著課改的深入和時代的發展，一定會變得更好，更有利于對學生的教育和啟發思考。
三、結束語
關鍵詞：高職教育；高等數學；課程建設
目前，中國的高職教育已進入“大眾化”階段，其發展狀況如何將直接關系到整個社會經濟]的發展。而高職教育必須至少抓好三項建設，即實訓基地建設、專業建設和課程建設，其中課程建設是基礎［1］。高職院校的課程建設雖然是以“飯碗課”為主，但是高等數學是高職院校的一門主要基礎課程，不僅為學生學習后繼課程和解決實際問題提供了必不可少的數學知識和數學方法，而且也有助于培養學生思維、分析解決問題和自學的能力，以及使學生形成良好的學習方法；對于日后計算機運用、數控機床和單片機編程能力等方面都將發揮著不可替代的功效。因此不管是從精品課程建設的需要，還是從提高教學質量、培養學生能力與素質的角度來看，可以說高等數學教學質量的好壞在一定程度上直接影響后續課程的教學質量。因此，要培養高質量的人才，充分發揮高等數學課程在高職教育中的作用，就必須全面系統地做好高等數學的課程建設。
一、高等數學教學的現狀
許多人以為，高等數學沒有什么用。這一想法的由來是對純數學和應用數學的認識不清。目前在高職中所開設的數學課一般都是大學一年級的高等數學，其內容和純數學基本相同，仍然是變量數學。但在高職中需要解決的是工程與實踐中的現實問題，是應用性問題，而不再是純數學理論。例如，同樣是講述“函數”，高職中更應強調的是如何建立現實問題中變量之間的關系，即函數方面的數學建模，而不再是純粹強調定義域和對應法則問題。但即便是高職中的高等數學也不是應用數學，它要求學生理解基本的數學概念、數學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景、應用，體會其中所蘊涵的數學思想和方法，以及它們在后續學習中的作用。其實數學教育在學校教育中占有的特殊地位是毋庸置疑的，它能使學生表達清晰，思考有條理，使學生學會用數學的思考方式解決問題、認識世界等。另一方面，目前的這種狀況也給所有從事數學教學的同仁們敲了一次警鐘，使我們認識到數學教學已經到了必須改革的時候了。
二、高職高等數學課程建設應注意的問題
高職院校在人才規格、人才培養目標等各方面的特殊性決定了其課程建設也不同于其他院校的課程建設，在建設中應注意以下幾方面的問題：
1.崗位群要求綜合知識多但不深
高職培養的學生一般是適合某一崗位或是崗位群。這一培養目標就決定了其對于知識的學習要多，但并不需要很深，這也就是平時所說的“必需、夠用”。例如同樣數控專業的學生將來并不都是從事數控編程，也可能是操作機床或是銷售、維修工作，這些不同就導致了對知識的需求有所差別。因此為適合崗位群的要求，在學習中就必須涉及到該專業的所有可能知識。同時由于學生就業的憑證是“技能”，所以對理論知識不需要太深。
2.基礎課學時少、訓練少、習題少，但培養學生能力方面要求卻很高
同樣由于高職培養目標決定了對于基礎課程的學時較少，由此帶來的學生訓練的機會較少，而且結合專業可供使用的實踐性習題也不多，但是對于知識的要求卻并不低。
3.專業需求對于知識點的要求不一，眾口難調
不同的專業對高等數學的需求是不一樣的，有些專業要求僅以一元函數微積分為基礎，而有些專業則還需要多元函數的微積分，對于有些專業復變函數的知識比較重要，而有的則側重于線性代數等等，眾口難調。
4.學生水平參差不齊，吃不飽和學不了的是兩個大頭
目前許多人對于高職院校還存在著看法，總認為其就業出路是工人，所以只有在上不了大學的情況下才會選擇高職，造成高職院校的學生基礎普遍較差。當然也不乏一部分對高職前景看好的基礎較好的學生，這些構成了高職學生的主體，基礎水平參差不齊。基礎好的吃不飽，基礎差的學不了。
5.要考慮少數人的需求
高職中有一部分學生的去向是專升本，雖然這部分學生數量較少，但作為培養單位的學校也同樣應考慮他們的需求，因此開設的課程中，應考慮為他們將來的升本科打好基礎。
三、對高等數學課程建設的幾點建議
1.一綱多用，同時建立不同專業的課程評價標準
既然高等職業院校以能力本位教育為基礎，而非學科本位為基礎，就應該建立與人才培養方案相一致的教學大綱和課程評價標準。統一制訂適合高職特點的教學大綱。同時根據不同專業的要求制訂相關的課程評價標準，使一個大綱能為多個專業所用，而不同的專業又有不同的側重點，即不同的課程模塊。除此之外，高等數學要想真正建設好，還必須聯合不同專業共同制訂本專業的課程評價標準。其實課程評價已經不再是某一學校的事，在以市場標準取向的前提下，高等職業教育質量的鑒定應實現內部評價和外部評價的互動統一,也稱為“內審與外審”。其中“外審”則是社會“第三方”或上級教育機構對學校的各種評估或檢查，以確定其社會認可度；“內審”則要求學院建立相應的評價標準和監督機制對課程本身進行審核［2］。因此，一綱多用，同時建立不同專業的課程評價標準是提高高職院校內涵的一項實質性工作。高等數學作為一門公共基礎課程，在統一的教學大綱指導下，各有側重地建立該專業課程評價標準，以促進高等數學更好地為專業服務。
2.圍繞課程評價標準大膽整合數學課程
課程評價標準是針對職業院校不同專業而建立的，其效用等同于具體的教學大綱，但是又比教學大綱更具有靈活性。由于作為基礎課的高等數學教學大綱只有一個，但是課程評價標準是因專業而設置，而且一經建立，勢必促使教師根據不同的專業需求對數學課程進行大規模整合。因為一方面各個專業對數學基礎要求不一樣，另一方面能力本位的指導思想不可能在基礎課程上花太多的課時。而為了達標，必須對高等數學、線性代數、概率、數理統計等模塊進行整合，使其能夠滿足不同的專業需求。而且確定的課程評價標準也限定了不同的專業有不同的教學重點。例如，“導數的應用”中經濟管理專業應側重曲線的單調性、凸凹性的特點以及利用導數分析邊際問題和彈性問題的應用；而模具專業就應該側重于曲線凸凹性以及利用導數分析曲率的相關問題上等。同時還應結合不同的教學內容，所布置的作業同樣應有所針對性，以滿足不同的專業需求。
數學美古已有之，早在古希臘時代，畢達哥拉斯學派已經論及數學與美學的關系，畢達哥拉斯本人既是哲學家、數學家，又是音樂理論的始祖，他第一次提出“美是和諧與比例”的觀點。我國當代著名數學家徐利治指出：“數學美的含義十分豐富，如數學概念的簡單性、統性、結構系統的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性與普適性，還有數學中的奇異性等等都是數學美的具體內容”。
1數學意境的形象美
高等數學中有些概念比較抽象，學生在理解上會有一定的困難．在教學中通過創設適當的情境，將抽象的概念具體化、形象化，這樣易于學生理解。例如，講授極限的概念時先介紹劉徽的割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。又如，《莊子天下篇中的“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”。
同時再輔以多媒體技術，學生一定會在感官上感受到極限的美妙。
2數學探索的創新美
數學的發展離不開人們對于美的追求，數學家也是美的追求者。實際上，人們在研究數學時，都在自覺不自覺地應用美學原則，愛斯坦科學思想的偉大繼承人狄拉克說：“我沒有試圖直接解決某個物理問題，而只是試圖尋求某種優美的數學”，他認為：“如果物理學方程在數學上不美，那就標志著一種不足，意味著理論有缺陷，需要改進，有時候，數學美比實驗相符更重要”。
高斯在回顧二次互反律的證明過程時說：“尋求一種最美和最簡潔的證明，乃是吸引我去研究的主要動力”。
“美是真理的光輝“這句拉丁格言的意思是說，探索者最初是借助這種光輝來認識真理的．歷史的事實給我們以深刻的啟迪，為了培養高素質的創新人才，必須加強數學美的教育。
3數學語言的簡潔美
數學家將自己的勞動成果用最合理的形式（一般是用式子）來表達，這就是數學美中很重要的一種美——簡潔美。數學語言借助數學符號把數學內容扼要地表現出來，體現了準確性、有序性、概括性、簡單性與條理性。如數列極限與函數極限的分析定義是用“ε-N”、“ε-δ”語言給出的，定義中具有任意性與確定性，ε的任意性通過無限多個相對確定性來實現，ε的確定性決定了N 和ε的存在性。這種定義精細地刻劃了極限過程中變量之間的動態關系，表達了極限概念的本質，并且為極限運算奠定了基礎，學過微積分的人無不贊賞它的完美，評價它是最嚴密、最精煉、最優美的語言。
4數學內容的統一美
數學的統一美是指在不同的數學對象或者同一對象的不同組成部分之間存在的內在聯系或共同規律。
歐拉公式：1+Eiπ=0，曾獲得“最美的數學等式”稱號。歐拉建立了在他那個時代，數學中最重要的幾個常數之間的絕妙的有趣的聯系，包容得如此協調、有序。與歐拉公式有關的棣莫弗～歐拉公式cosθ+i sinθ=e把人們以為沒有什么共同性的兩大類函數三角函數與指數函數緊密地結合起來了。對它們的結合，人們始則驚詫，繼而贊嘆確是“天作之合”，因為，由它們的結合能派生出許多美的、有用的結論來。
愛因斯坦一生的夢想就是追求宇宙統一的理論。他用簡潔的表達式E=mc2揭示了自然界中質能關系，這不能不說是一件統一的藝術品。人類在不斷探索者紛繁復雜的世界，又在不斷地用統一的觀點認識世界，宇宙沒有盡頭，統一美也需要永恒的追求。
數學的發展是逐步統一的過程。統一的目的也正如希爾伯特所說的：“數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡潔的方法的發現密切聯系的，這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論并把陳舊的、復雜的東西拋到一邊。”
5數學方法的簡捷美
解題方法的簡單、巧妙是一種理性的美，簡捷的解題方法和明快的思維令人心曠神怡，在心里激起愉快的情感體驗和愉悅的美感，在成功的喜悅中對數學審美和數學創新會有更迫切的要求。
例如，求極限：cos x coscos……cos該極限直接計算是無法得到結果的，但只要我們注意到三角函數的倍角公式2sinαcosα=sin2α和=1，就可以將極限號內的無限多個函數轉化為有限多個函數，于是就有：
cos x coscos……cos
=cos x coscos……cossin/
=cos x coscos……（2cossin）
=cos x coscos……cossin
=…==1，這就是一種美妙而簡單的解法。
又如求極限，完全可以利用它與重要極限公式=1的相似性來解=1，而獲得成功。
利用數學的美感激發創新靈感，迸發創造性思維火花，產生許多新穎別致又簡捷的解題方法和技巧，解題者因此得到愉快的心靈感受，從內心自覺地產生發現、運用和創造數學美的渴望，增強學好數學的濃厚興趣，不斷提高數學能力。
6數學理論的奇異美
數學中許多理論與人們的直覺相背離，有時讓人覺得不可思議，給人以無盡的遐想，有時又帶給人一種“山窮水復疑無路，柳岸花明又一春”的絕妙境界，它印證了我國數學家徐利治所說的：“奇異是一種美，奇異到了極限更是一種絕佳的美”。
例如，有無限個連續點（無理點）和無限個間斷點（有理點）的黎曼函數f（x）=x=（為既約真分數）0x=0，1及（0，1）內的無理數；在任一點都不連續狄利克雷函數f（x）=0x∈Q1x∈；處處連續但處處不可微的魏爾斯特拉斯函數f（x）=bcos（απx）（其中α為奇數，0＜b＜1，ab＞1+π)，這些函數我們都無法準
確地描繪出它的圖像。但是黎曼函數、狄利克雷函數和魏爾斯特拉斯函數的美就恰似一幅幅神奇的抽象畫，雖奇異古怪，卻是數學家們依靠想象而產生的藝術精品。
下面通過舉出一些常用數學公式的編輯來介紹編輯公式的方法：
要想用Word97編輯數學公式，在安裝Word97時要選“自定義安裝”中Office工具里的公式編輯器MicrosoftEquation30，若選“典型安裝”，則需要在安裝后從控制面板中選“添加/刪除程序”再把公式編輯器添加上去。在Word文檔中用鼠標單擊“插入”菜單，選擇“對象”選項，在“新建”標簽中選中“MicrosoftEquation30”就可以調出公式編輯器，同時屏幕上出現兩個虛框，分別稱為公式編輯框和輸入框，如圖(1)。
輸入框中閃動的光標處等待輸入公式中的各種符號。輸入時，輸入框隨著輸入公式長短而發生變化，整個數學表達式都被放置在公式編輯框中。公式窗口浮動在文本中，其中囊括了幾乎所有數學符號，例如：關系符號、運算符號、修飾符號、邏輯符號、各種集合符號以及希臘字母(大小寫)等。一些常用的數學公式模板，如圖(2)。
1)按上面所述方法調出公式編輯器。
2)單擊圍欄模板，選其中的符號如圖(3)。
3)在輸入框中輸入x，然后單擊上下標模板，選其中的符號如圖(4)。
4)在輸入框內輸入下標1。
5)輸入＋號。
6)重復步驟3)。
7)在輸入框內輸入下標2，再輸入＋號。
8)單擊希臘字母模板，選其中的λ。
9)重復步驟3)。
10)最后輸入=0。
第一行輸入完成后，按回車鍵自動進入第二行輸入狀態。同時圖(3)所示的符號自動拉長，用來適應方程組的需要。用這樣的方法可以輸入和編輯任意階線性方程組。
例2：矩陣(行列式)
利用矩陣模板，可編輯m×n階矩陣和n階行列式，編輯步驟如下：
2)單擊圍欄模板，選其中的符號如圖(5)或圖(6)(編輯矩陣選圖(5)編輯行列式選圖(6))。
3)單擊矩陣模板，選其中的符號如圖(7)，這是編輯框中出現16個輸入框。(編輯5行5列以上的矩陣或行列式，選其中的符號如圖(8)，這是屏幕彈出一個矩陣對話框，自選其中的行列數，可編輯任意階矩陣(或行列式))。
4)在第一個輸入框中輸入－1。
5)按TAB鍵將光標移動到下一個輸入框，再輸入0。
6)重復步驟5)可以完成矩陣的輸入。
注：其中分數1/2的輸入方法如下：單擊公式和根式模板，選其中的符號如圖(9)，在輸入框中分別輸入1和2即可。
2)單擊上下標模板中的符號如圖(10)，在上面的輸入框中輸入lim。
3)用鼠標單擊下面的輸入框，將光標移動到這個輸入框中，輸入x。
4)單擊公式編輯器中的箭頭模板，選擇。
5)單擊公式編輯器中的其他符號模板選擇其中的∞。
6)單擊已輸入完的部分，使光標回到原位如圖(11)。
7)輸入后面的式子(略)。
2)單擊求和模板，選擇其中的符號如圖(12)，這時編輯框中出現三個輸入框。
3)單擊下面的輸入框，使光標移到這個輸入框中，輸入n=1。
4)單擊上面的輸入框，使光標移到這個輸入框中，輸入∞。
5)單擊右面的輸入框，使光標移到這個輸入框中，單擊公式編輯器中的分式根式模板，選擇其中的分式和根式符號，輸入級數中的分式和根式。
1.師資力量與學生需求不對應。這是造成的素描教學效果不佳的一個關鍵原因，近年來我國高等藝術院校師資隊伍建設雖然一直在穩步推進，但是與急劇增長的學生需求相比還存在很大差距。學生數量的增長造成了教師數量和質量的相對不足。師資力量物理支撐藝術院校的素描教學，教師沒有充足的時間和精力學習新的教學理念和理論，從而給素描教學工作的創新發展造成很大的不良影響。另外在當前的素描教學中，學生的學習需求也在不斷變化，傳統的教育理念和教學模式已經無法適應是新時期的學生需求。學生積極性無法調動，導致整個教學工作長期處于低效運轉狀態，這對教學工作的發展具有非常重要的影響作用。
2.學生缺乏對藝術的執著精神。學生的基礎素質不高，文化知識貧瘠，缺少對藝術的執著精神是造成當前素描教學工作發展的一個重要阻力。高等藝術院校生源質量不高，學生入學成績對文化課程的要求低，且進入高校之后文化課程教學的實效性不高。這使得學生的基礎文化素質與素描教學的需求存在很大差距，以此造成了素描教學吃力。教師即使知道問題出在哪里也沒有有效的辦法解決這種問題。另外，學生基礎素質不高對教學影響還體現在對教學理念的認知不足上，無法正確理解素描教學各階段的意義和價值，也不能在自己的學習中主動配合教師教學計劃。
3.現代藝術觀念的負面影響。自印象派以來，無論是中國傳統藝術還是西方傳統藝術不斷被否定，繼而代之的是現代、后現代不斷的推陳出現。更為重要的是隨著現代商業的繁榮活躍使得藝術與商業之間建立了畸形的很多關系。藝術創作一再妥協最終淪為商業附庸。在這種形式的影響下藝術家的境界和品格也受到極大挑戰，一些終身鉆研藝術、辛勞一生的藝術家卻默默無聞。窮困潦倒。這種時代環境對當代的素描教學也產生了很大影響。學生的功利心影響了他們對藝術的追求和認知。
二、改變當前素描現狀的幾點建議
1.素描教學要培養學生掌握基礎知識、技能。基礎知識不足是影響當前教學進展不大的一個重要原因。為此在教學過程中應當注重對學生基礎素質的強化教學。針對高等藝術院校學生文化課成績不理想的現狀，在教學當中應當對學生的文化綜合素質開展測評。摸清學生真實的基礎文化素質，對他們開展有針對性的文化課不惜。同時在素描教學中還應當重視基本技法的訓練。由于這種訓練簡單枯燥招致學生的抵觸，為此教師應當積極探索新的教學方法，以盡量滿足學生需求的具體情況滿足學生需求。
2.提升師資力量水平。師資力量不足是影響當前素描教學工作的一個重要問題。為此高等藝術院校應當根據自身發展狀況制定教師成長和教師隊伍培養戰略。首先應當研究師生數量匹配，根據學生數量的變化情況和速度制定教師發展目標。其次要提升當前教師隊伍的數量和質量，增強教師隊伍素質，做好這項工作應當從兩個方面著手努力。首先通過外部引進的方式選聘優秀素描教師，其次對現有教學人員開展專業培訓，制定教師專業發展激勵計劃，動員廣大教師通過自我教育和終身學習的方式保持與素描教學發展的同步性。
【關鍵詞】高等數學；一致性；連續性；函數
一、高等數學函數一致性連續性的基本概念
高等數學中的一致連續性是從函數連續的基本概念中派生出來的新釋義，它是指：存在一個微小變化的界限區間，如果函數定義域以內的任意兩點間的距離永遠不超過這個界限范圍，則這兩點相對應的函數值之差就能夠達到任意小、無限小，這就是所謂的函數一致連續性概念。一直以來，高等數學函數一致連續的概念都是教學過程中的重點，也是難點之一，在多年的高等數學教學實踐過程中，筆者深刻感受到學生在學習和掌握函數一致連續概念時的疑惑和困難。甚至有不少學生會有這樣的疑問：函數連續和一致連續的本質區別究竟體現在哪里？
帶著上述問題，我們對函數一致連續性進行研究和分析。函數的一致連續性是函數的一個重要的特征和性質，它標志著一個連續函數的變化速度有無“突變”現象，并對其連續性進行歸納總結。函數一致連續性，要求函數在區間上的每一點都保持著連續的特點，不允許出現“突變”現象，同時還進一步要求它在區間上所有點鄰近有大體上呈現均勻變化的趨勢。換句話說，函數一致連續性的定義為：對于任給定的正數ε，要求存在一個與自變量x無關的正數δ，使對自變量在定義域區間內的任意2個值x'和x"，只要二者的距離x'-x"＜δ，那么函數所對應的函數值f（x'）-f（x"）＜ε。顯然，函數一致連續性的條件要比函數連續的條件強。在目前采用的高等數學的教材中，只是給出一致連續的基本定義，以及利用該定義證明函數f（x）在某區間上一致連續的數學方法，進而呈現出了函數一致連續的完美邏輯結果。這種教學理念是很好的，但是，從實踐教學效果上看，又很不利于學生對定義的理解，尤其不利于學生對定義中提到的“δ”的理解，因此筆者建議教學工作者將函數一致連續性概念中所隱含的知識逐步解釋清楚，以此來幫助廣大學生更快更好地充分理解一致連續的概念和意義。高等數學函數連續性的基本定義為：設f（x）為定義在區間I上的函數，若對ε＞0，對于每一點x∈I，都存在相應δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，則稱函數f（x）在區間I上連續。該定義說明了函數f（x）在區間I上連續的基本特征。函數一致連續的基本概念是：設f（x）為定義在區間I上的函數，若對ε＞0，存在δ（＞0），使得對任何x'，x"∈I，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，則稱函數f（x）在區間I上一致連續。要特別注意的是，連續概念中δ與一致連續概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定義，才能避免混淆概念。為了幫助大家更好地理解函數一致連續性概念，現將函數函數不一致連續的概念進行一下描述：存在某個ε0，無論δ 是怎么樣小的正數，在I上總有兩點x' 和x"，雖然滿足x'-x" ＜0，卻有f（x'）-f（x"）＞ε。這就是函數不一致連續的概念，理解和學習函數不一致連續的相關知識，有利于我們更好地學習和研究函數一致連續性問題。
二、高等數學引入一致性連續性的意義和價值
高等數學教材中涉及了較多的理論和概念，比如函數的連續性與一直連續性，以及函數列的收斂性與一致收斂性等，都是初學者很容易混淆的相近概念，因而也成為了高等數學學習中的一個難點問題。在工程數學中，這些概念非常重要，筆者認為，搞清楚和弄明白函數的一致連續的基本概念，以及掌握判斷函數是否具有一致連續特性的基本方法，無疑都將是理工科學生學好高等數學函數一致連續性理論知識的核心環節，也是日后成熟運用該數學方法的基礎和前提。通過學習和比較，我們能夠得出一個很明顯的結論：一致連續要比連續條件強。高等數學函數一致連續是一個很重要的概念，在微積分學以及其他工程學科中常常會用到一致連續的知識，而且函數列的一致連續性和一致收斂又有著密切的相互關系。實際上，我們在進行函數列的收斂問題研究時，常常要用到函數列與函數之間的收斂、一致連續性、一致收斂等概念及其關系。函數一致連續的概念是學生學習高等數學的一個難點問題，證明某一個函數是否具有一致連續性是其中的瓶頸問題，這讓很多理工科同學感到無從下手。為了解決這一難點，達到化抽象為簡單的教學目的，筆者建議給出一致連續性的幾種常見等價形式，能夠很好地幫助學習高等數學的同學更易于理解和掌握函數一致連續性這一知識要點。高等數學中的函數一致連續性、函數列一致有界性、函數列一致收斂性等“一致性”概念是學習上的難點，也是教學大綱中的重點。因此，牢固掌握這些概念及與之有關的理論知識，對于培養學生良好的數學素養和創新能力都有著重要的意義。
函數一致連續的幾何意義非常非常重要。數學分析抽象而且復雜難懂，這門學科本身就有著極強的邏輯思維和嚴密特征，主要體現在它能夠采用最簡明的數學語言來準確表述其他語言無法量化的復雜多變的事物發展過程。換言之，其作用在于，能夠量化抽象事物的動態發展過程。其幾何意義將在高等數學課程入門中起到一個有利引導作用，清晰明朗地向學生展示高等數學中最基本的思想方法和思維方式，幫助學生理解抽象概念，提高學生培養自身的創新思維能力。另外，探討函數一致連續和一致收斂的關系，同時在有界區間上給出一致連續和一致收斂的等價關系，有利于學生在今后研究連續、收斂問題中擁有更多的參考依據。
三、解決高等數學函數一致性連續性問題的對策
1.一元函數在有限區間上的一致連續性
由于用函數一致連續的定義判定函數 是否一致連續，往往比較困難。于是，產生了一些以G.康托定理為基礎的較簡單的判別法。
定理1 若函數 在 上連續，則 在 上一致連續。
這個定理的證明方法很多，在華東師大版數學分析上冊中，運用了有限覆蓋定理和致密性定理來分別證明，本文選用閉區間套定理來證明。
分析：由函數一致連續的實質知，要證 在 上一致連續，即是要證對 ，可以分區間 成有限多個小區間，使得 在每一小區間上任意兩點的函數值之差都小于 。
證明：若上述事實不成立，則至少存在一個 ，使得區間 不能按上述要求分成有限多個小區間。將 二等分為 、 則二者之中至少有一個不能按上述要求分為有限多個小區間，記為 ；再將 二等分為 、 依同樣的方法取定其一，記為 ；......如此繼續下去，就得到一個閉區間套 ，n=1，2，…，由閉區間套定理知，存在唯一一點c滿足
（2-13）
且屬于所有這些閉區間，所以 ，從而 在點 連續，于是 ，當時，就有
。（2-14）
又由（2-13）式，于是我們可取充分大的k，使 ，從而對于 上任意點 ，都有 。因此，對于 上的任意兩點 ，由（2-14）都有 。（2-15）
這表明 能按要求那樣分為有限多個小區間，這和區間 的取法矛盾，從而得證。定理1對開區間不成立。阻礙由區間連續性轉變為區間一致連續性有兩種情況：（1）對于有限開區間，這時端點可能成為破壞一致連續性的點；（2）對于無限區間，這時函數在無窮遠處也可能破壞一致連續性。
定理2函數 在 內一致連續在 連續，且 與 都存在。
證明：若 在 內一致連續，則對 ，當 時，有
，（2-16）
于是當 時，有
。（2-17）
根據柯西收斂準則，極限 存在，同理可證極限 也存在，從而 在 連續， 與 都存在。
若 在 連續，且 和 都存在，則
令（2-18）
于是有 在閉區間 上連續，由Contor定理， 在 上一致連續，從而 在 內一致連續。
根據定理2容易得以下推論：
推論1 函數 在 內一致連續在 連續且 存在。
推論2 函數 在 內一致連續在 連續且 存在。
當 是無限區間時，條件是充分不必要的。
2.一元函數在無限區間上的一致連續性
定理3 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 都存在。
證明：（1）先證 在 上一致連續。
令 ，由柯西收斂準則有對 使對 ，有
。 （2-19）
現將 分為兩個重疊區間 和 ，因為 在 上一致連續，從而對上述 ，使 ，且 時，有
。 （2-20）
對上述 ，取 ，則 ，且 ，都有
。 （2-21）
所以函數 在 內一致連續。
（2）同理可證函數 在 內一致連續。
由（1）、（2）可得 在 內一致連續。
若將 分為 和 ，則當 與 分別在兩個區間時，即使有 ，卻不能馬上得出 的結論。
由定理3還容易得出以下推論：
推論3 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 存在。
推論4 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 與 都存在。
推論5 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 存在。
推論6 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 與 都存在。
參考文獻：
[1]王大榮，艾素梅；分段函數在分段點處的求導方法芻議[J]；滄州師范專科學校學報；2005年03期
[2]袁文俊；鄧小成；戚建明；；極限的求導剝離法則[J]；廣州大學學報（自然科學版）；2006年03期
［關鍵詞］藝術理論教學重要地位制約問題改革完善
［中圖分類號］G642.0［文獻標識碼］A［文章編號］2095-3437（2014）09-0137-02自人類有藝術以來，藝術理論[1]一直與藝術作品相伴相生，是藝術重要的構成部分。近年來，隨著藝術學科的不斷快速發展，藝術理論在藝術學科中的重要地位日益凸顯。但是，在藝術教育的實際過程中，由于受到多種因素的制約，教學產生了極其不良的后果。有鑒于此，筆者針對藝術理論課程教學中存在的各種問題，從多個環節探討解決的方法，以期改變現狀，使藝術理論課程的價值和作用得到彰顯和實現。
一、藝術理論課程教學的現狀
目前，藝術理論課程的重要性已得到大多數人的認同，但藝術理論課程的教學卻仍然存在諸多問題，不容樂觀。
第一，部分院校的藝術教師因對藝術理論課程中藝術概論課的認識不夠，抱有偏見，以音樂概論、美術概論等課程替代藝術概論。這種觀念純粹從藝術技術出發，以技術為評判一切的杠桿，忽視了藝術理論存在的合理性和重要性，而且破壞了藝術理論課程教學的完整性，同時也間接地對學生造成了誤導，使學生也陷入藝術概論無足輕重的觀念誤區。
第二，藝術理論教師的師資隊伍極為匱乏。教師作為教學的主體，是知識內容的傳授者，是審美體驗的引領者。藝術理論課程教學的成敗與師資隊伍建設休戚相關。但是目前，大多數高等院校的藝術師資隊伍中很少有專門的理論教師，多為音樂、舞蹈等門類的技巧教師，他們的興趣點和理論儲備都與理論教學不相吻合。這種現狀就使藝術理論課程的教學缺少相應的和足夠的專職教師，導致藝術理論課程的教學效果不理想。
第三，藝術理論課程的教學內容還有待進一步充實完善。教材是教師進行教學的基本依據，也是學生學習的第一手資料，但是教材一旦出版后就固定化、停滯化，這樣就不利于將藝術學科領域的新問題、新現象及時、快速地轉化到教材中。另外，在教材上還存在教材內容以部門藝術等為界限的割裂局面。徐子方先生曾就此問題指出，“藝術論和藝術史的教材建設大多仍沿用西方傳統，分處在哲學和視覺藝術的范疇而不自知”，不對這些問題進行革新，“藝術學在中國的學科錯位命運就不得到根本性改變” 。[2]時至今日，教材和教學內容上存在的弊端，對藝術理論教育已經產生了不良的影響，急需引起重視，進行改變。
第四，藝術理論教學方式方法傳統單一，難以調動學生學習的興趣和積極性。首先，某些藝術理論課程的教學基本以書面性知識內容為主，照本宣科地講述理論知識，造成講授方法過于理論化。學生對純理論性的教學方法和課程中大量的理論知識望而生畏，產生厭學情緒。其次，有的藝術理論教學的課堂上基本以教師講授為主，一堂課的時間教師從頭講到尾，進行填鴨式的滿堂灌教學。這種教學方法以教師為主體，以課本內容為規矩，忽視了學生在學習中的主動性，缺少師生之間的交流和互動。
第五，藝術理論教學手段傳統刻板，未能有效利用現代教育技術。傳統教學一般多采用板書式教學，通過板書來輔助講解。學生長時間地聽教師講授理論內容，容易產生枯燥感。另外，隨著多媒體技術、網絡技術的發展，也有的藝術理論教學課堂采用了多媒體技術，通過多媒體課件進行知識的傳授。但是部分教師并沒有掌握多媒體教學的精髓，只是把以前在黑板上書寫的內容，原封不動地搬到多媒體課件上。這種教學刻板僵化，并沒有實現多媒體技術的優勢，依舊無法調動學生學習的積極性。
二、課程教學改革模式研究
鑒于目前藝術理論課程教學與社會需求、與其重要地位相脫節的種種現象，我們針對這些問題認真探討，深入研究，建議從以下幾方面進行改進。
第一，對部門藝術院校重門類藝術理論輕藝術概論的現象，學界已經做出評判并提出意見。周星教授曾談到，當前在藝術學科建設中存在的一個突出問題就是單個藝術形式中強大的技巧意識造成的學科建設之間的壁壘。[3]對此問題，藝術學界的專家在2010年的藝術學學科設置論證會上達成了一致意見，認為應該加強不同藝術門類之間慣縱性規律的研究，克服藝術學以門類為界，拘于一隅、不相往來的傾向。同時學界也提出在藝術教育課程改革中將理論教育和技巧教育相結合，既注重理論課程的學習，又強化技巧的學習，確保兩大類課程之間的平衡關系。
第二，藝術理論教師的師資隊伍建設是一個極為緊迫的事情。只有加強理論教師的培養，組建有規模的理論教師隊伍，才能為藝術理論課程的教學提供最基礎的師資保障。具體來說，首先要使藝術理論教師的數量達到一定規模，能夠滿足各門理論課程教學所需；其次，在此基礎上也可以建立藝術理論教研室或理論系等個體單位，教師之間可以相互切磋探、討如何改進教學，也可以針對理論問題舉辦講座、召開研討會等，提高師生的理論興趣。
第三，藝術理論教師應該在課堂教學中及時補充新材料、新觀點、新成果、新動態，并加以總結歸納，多角度、全方位地進行綜合性講授，從而拓寬學生的視野，活躍學生的思維，使學生在固定的教材內容之外了解、關注藝術理論的前沿知識和現象，把握藝術發展動向，激發其將書本知識與社會知識聯系、理論與實踐聯系的積極性，從而更好地引導學生自身藝術實踐活動的方向。
第四，藝術理論課程的教學方式方法應由傳統的滿堂灌、教師講授為主轉換為講授、提問、討論等相結合的教學方式，并且將純理論講授轉換為理論和實例相結合。這樣一方面可以讓學生參與課堂教學中，由被動學習轉變為主動學習，調動學生學習的積極性；另一方面，適當引入精美經典的藝術實例，通過實例分析、講解理論知識，將抽象、枯燥的理論知識形象化、具體化，更方便學生的接受和掌握。此外，援引藝術實例還是引導學生進入審美的捷徑。余秋雨先生曾講道：“正因為任何藝術原理的講授只有與學生的審美經驗連接起來才能取得良好效果，所以藝術理論教師有責任在課堂上不斷地引導學生進入審美過程，激發審美經驗。”[4]生動的藝術實例還有利于提高學生的藝術鑒賞能力，使學生在審美體悟的基礎上進行抽象的理論歸納、概括，將枯燥、抽象的理論教學變為感性審美與抽象理論水融的教學。
第五，藝術理論課程在教學手段上施行教學手段現代化、多樣化。在教學手段上，除傳統的方式之外，還可以利用現代多媒體教學技術，輔以播放圖片、視頻、音頻等方式和帶領學生實地參觀藝術展覽、觀看藝術演出等活動。這些教學手段一方面圖、文、聲并茂，另一方面生動有趣，更加吸引學生求知的欲望，帶給學生更強的藝術震撼。通過這些現代、多樣的教學手段，全面調動學生的視、聽等多種感官，加深學生對理論知識的理解和把握。
總之，藝術理論課程既是技能課程的基礎，又對技能課程進行了理論總結與提升，是藝術教育中必不可少的重要課程。“萬物必有其內在規律和表現態勢，科學技術研究就是通過現象的深窺察照寓涵的本質，觀念無法脫離載體，技法也無從憑空產生” 。[5]我們有必要對藝術理論課程進行教學改革研究與實踐，明確其重要價值和意義，改進教學方法，豐富教學手段，推動藝術理論課程教學的充實與完善。
［參考文獻］
［1］羅伯特?威廉姆斯.藝術理論［M］.北京：高等教育出版社，2004.
［2］徐子方．當代中國藝術學學科錯位及在中國大陸地區的出路 ［J］ ．藝術百家，2010（3）．
［3］郭曉．面向未來 獻計獻策-2010年藝術學學科設置論證會側記［J］.藝術教育，2010（7）．
［4］余秋雨．《藝術概論》課教學一得［J］．文藝理論研究，1981（3）．
