發布時間：2023-06-30 16:06:56
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領域的橋梁，我們為您精選了8篇的數學研究的問題樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發，請盡情閱讀。
1995年高考數學命題中引入數學應用題，這一舉動影響著全國的基礎教育，尤其是高中數學教學. 處在教學第一線的數學教師開始參與數學應用題的編制與教學研究. 下面與同行談談我也被卷在其中的經歷，以期共同探討研究.
（一）第一階段――課堂內外引領學生應用實踐，教學之余編制數學應用問題
1995～1999年，由于數學應用問題教學的需要，在數學教育專家引領下，數學應用問題編制與研究開始在全國各地興起. 許多中學數學雜志在此領域大量發表文章，尤其是《數學通訊》雜志集中報道數學應用方面的研究成果. 但是，在中學數學第一線，教師的數學應用意識與應用問題教學意識都不強，教師數學應用問題的知識儲備也不足，再加上學生的社會實踐知識欠缺，閱讀理解力的薄弱，面對高考數學應用題時，學生的應試心理一般處于恐懼或放棄狀態.
1.編制適合中學生的數學應用問題，研究中學數學建模問題
此時我開始潛心思考，從現實生活中尋找信息與資料，編制具有活生生現實背景的數學應用題，并發表在《數學通訊》等雜志上，還將編寫的數學應用題分類匯集，編著《用數學眼光看世界》一書. 如下面例題，在當時起到較好的引導作用.
例1 為了提供更加優質的教育，增加大學生就業崗位，某地區準備逐步實現小班化教育，將學生人均教室面積由1 m2提升至x（m2），x≤2，調整教師人均辦公室面積為
y=f（x）=4， 1≤x
ax+b，1.5≤x≤2.
如圖1，
①確定a，b的值及函數f（x）值域；
②實行小班化，對教室改造投資中，投資額P（萬元）與x之間的關系是P=exf（x），探求教室改造投資的最大值；
③對辦公室進行改造的投資中，投資額Q（萬元）與y之間的關系是Q=5y3-3cy2+180，c為正常數，探求辦公室改造投資的最小值及相應c的范圍.
2.利用周末時間帶領學生開始數學應用實踐和實習活動，增強學生應用意識
數學應用意識的培養不僅可以通過數學應用問題的教學，還突出地表現在數學應用實踐中. 在周末組織學生開展數學應用實踐活動，如利用簡易工具測量鑒湖明珠電視塔高度以及與觀測點距離問題. 學生不僅創造性實踐（多種測量方式），而且撰寫了2000字左右的實習報告，將實習過程、測量方法、測量所使用的數學原理、測量后所建立的數學模型，一一總結記錄，并寫下自己的實踐感想.
（二）第二階段――數學教學加大數學應用問題教學力度，探究數學應用題的教育功能
進入新世紀，新的課程改革措施出臺，在以培養中學生的創新意識和實踐能力為總目標形勢下，中學的數學應用問題教學有所加強. 高考數學試卷中的數學應用題分值不斷增大，數學應用題命題更加貼近學生的生活實際和認知水平. 學生面對數學應用題時開始充滿自信，各地高考數學應用題的成績不斷提高. 在這一階段全國的中學數學雜志上有關數學應用的文章層出不窮，為各地中學教師開展數學應用問題教學提供素材.
1.數學應用問題的教育功能開發
數學應用問題教學的目的是提升中學生的數學應用意識，培養中學生的數學應用實踐能力.開發數學應用的教育功能除了它對數學思想方法的深入理解外，讓學生通過一個個“活”的數學應用問題，體會問題背后所隱含的環境保護、再生資源利用、愛心感恩、資源利用最優化等.
2.開設數學應用問題講座，普及中學數學建模方法
為了普及中學數學建模思想方法，除了課堂上的數學應用問題教學之外，利用課外活動或研究性學習活動時間開設數學應用問題講座，使數學應用教學形成一個完整的體系，給中學生一個數學應用問題全貌.
3.挖掘課堂教學案例，提升中學生的實踐能力與創新意識
在數學教學過程中，常常會遇到一些不可多得的智慧火花，開發它，會引發無限的創造力.
例2 利用正方體框圖，請你構造一個面數大于6的多面體.畫出你設計的多面體的直觀圖，數一數它們有多少棱、多少個面、多少個頂點.
這個開放性作業布置后的第二天上課時，有一位同學拿著一個正方體鐵絲骨架模型，如圖2，其中六條面對角線是用橡皮筋連接的，一位同學將一對面對角線橡皮筋向外拉，然后問其他同學，這是不是一個多面體？如圖3，一位同學說這個多面體形成一個12面體. 接著，另一位同學伸出手將另一對面對角線橡皮筋向外拉，“認為”形成一個18面體.第三位同學將最后一對面對角線橡皮筋向外拉，“認為”形成一個24面體.在四位同學的共同合作下，一個生動的多面體誕生了.面對課堂教學中瞬間發生的信息，教師用敏銳的眼光發現其中的問題并加以開發，不僅與歐拉公式發生聯系，而且總結其中的數學模型.
（三）第三階段――開發數學應用題的數學本質與數學應用意識
2003年新課程改革起步，新課程標準制定并公布，2004年在廣東、海南、山東、寧夏新課程教材進入高中課堂，各地編寫的新課程教材紛紛出版，新課程數學教材中最明顯的特點就是數學應用問題比原教材增加了許多，高考中許多數學應用題的情境來自于生活，深入挖掘出其數學本質，最有代表性的就是處在二期課改前線的上海，開發的數學應用題給人們呈現出的情境新穎，其數學內涵豐富.
1.關注數學應用建模能力，培養學生數學應用素質
中學所涉及的數學應用問題有二類：第一類，經過精加工后的貼近數學本質的“準”數學應用題；第二類，經過粗加工的貼近實際的“真”數學應用題. “好”的數學應用問題層出不窮，面對如此好的問題.把數學應用建模思想方法滲透在教學之中，充分挖掘問題的數學本質，把這一過程成為養育中學生數學應用素質的重要途徑.
例3 以下是面點師一個工作環節的數學模型：如圖4，在數軸上截取與閉區間[0，1]對應的線段，對折后（坐標1所對應的點與原點重合）再均勻地拉成1個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來的坐標，變成，原來的坐標變成1等）.那么原閉區間[0，1]上（除兩個端點外）的點，在第二次操作完成后，恰好被拉到與 1重合的點所對應的坐標是 ；原閉區間[0，1]上（除兩個端點外）的點，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到與1重合的點所對應的坐標為 .
理解突破：
“均勻地拉”――保證這是一個有規律的數學變換――伸縮變換；
“一次操作”―― 一次變換所呈現的結果：原來的變到1；原來的，變到；
第2次操作――第1次操作后由原來的，，變到第2次操作前的；第2次操作后的1；
第3次操作――第1次操作后由原來的，，，變到第2次操作前的，，第2次操作后變到；第3次操作后變到1；照此下去，……；
第n次操作――第1次操作后由原來的，，…，，變到第2次操作前的，…，，第2次操作后變到，…，；…，第n-1次操作前的，，第n-1操作后的；第n次操作后變到1；
因此第二次操作完成后，恰好被拉到與 1重合的點所對應的坐標是，；原閉區間[0，1]上（除兩個端點外）的點，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到與1重合的點所對應的坐標為，，…，，，即，j為[1，2n]中的所有奇數.
看到此問題情境，不由聯想起古人“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的精美概括；聯想到精美的楊輝三角，那么此問題能否概括為“一尺之面，對折其拉，萬絲不斷”？生活中的“拉面”場景，抽象為一種數學伸縮變換過程，檢測學生的對應、變換、數列知識以及邏輯思維能力，此問題給我們的一個重要啟示是：在數學教學中，引導學生學會用數學眼光看世界，去發現生活中的司空見慣的現象背后的數學規律，去探索或總結其數學模型，去揭示實際應用問題的數學本質.
2.關注數學問題的數學本質，從實際問題中挖掘數學模型
例4 如圖5，一位花布設計師在邊長為3的正方形ABCD中設計圖案，他分別以A，B，C，D為圓心，以b（0≤b≤3）為半徑畫圓，由正方形內的圓弧與正方形邊上的線段構成了豐富多彩的圖形，則這些圖形中實線部分總長度的最大值為 ，最小值為 .
理解突破：L=2bπ+4（3-2b）， 0
≤，
2bπ+4（2b-3），
即L=2bπ-8b+12， 0
≤，
2bπ+8b-12，
當b=1.5時，L達到最小值3π，當b=3時，L達到最大值6π+12.
花布圖案設計是一個復雜的工作，但抽象出來的數學模型是簡潔而美麗的，由點的運動而產生許多豐富的圖案：
學生面對如此問題時，一方面要學會從“數”角度思考，寫出長度的分段函數，而后求出其最大值與最小值；另一方面也應學會從“形”角度思考，發現其最值點和最值. 但不論是哪一個思路，都需要學生在“運動”著的圖案中發現其數學本質，為今后的創新意識和實踐能力打下基礎，這正是新課程改革的教育理念之一.
二、近20年來我國高中數學應用問題教學的反思
近20年來高中數學應用問題教學重視程度不同，特別在高考單獨命題省份. 數學應用題一般都有一大一小或一大二小. 尤其是上海進行二期課改，關注數學研究性學習，數學應用問題教學的氛圍比較濃. 高考數學命題中數學應用題情境新穎、充分挖掘實際問題中的數學本質. 但是許多省份的單獨命題中，除了概率統計的應用題外，幾乎不涉及數學應用問題.
（一）數學教學中實際應用意識不強，對數學應用問題的教學目標不明確
不論是數學課程標準還是考試要求對應用意識都有明確的說明：“能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產、生活中簡單的數學問題，能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數學問題，應用相關的數學方法解決問題并加以驗證，并能用數學語言正確地表達和說明，主要過程是依據現實的生活背景，提煉相關的數量關系，將現實問題轉化為數學問題，構造數學模型，并加以解決.”實事求是地說，這一目標要求是比較高的.它至少包括了下列目標：
一是“用”數學的意識與能力，即通過教學培養學生數學應用意識，學會用數學眼光看世界的方法，求解數學應用題的能力，探究數學概念與方法的來龍去脈與實際背景的能力；
二是數學建模能力，為相關學科中涉及數學建模或進一步學習中涉及數學建模奠定基礎；
三是數學語言表達與交流能力，即通過數學研究性學習方式來培養這一能力；
四是數據處理能力，在學習概率、統計、算法、金融數學相關知識中所訓練的能力.
（二）數學教學中的功利意識太強，對數學應用問題教學冷熱不均，反復無常
1995年以來，數學應用問題教學意識經歷了一個由冷加熱，熱中保溫，溫度下降的過程. 教師在不同教學思潮的影響下，缺乏從整體上認識它的功能與素質教育要求. 因此一會兒重視，一會兒放棄，表現在對數學教材處理上，有關“實習作業”“章引言與章頭圖”“探究與發現”“閱讀思考”等內容都忽略不去涉及，截頭去尾只講一些與“高考應試”有關的數學內容.課堂上對數學概念的來龍去脈不加研究，不介紹，導致學生只能了解一些數學解題方法，不理解數學概念.由于社會文化中功利意識的影響，在數學教學時對應用問題的教學中，如果與高考數學應用題型相關，就花大量時間或精力去訓練學生的應試能力；如果與高考數學應用題型無關，就一帶而過，或者是避而不講.這樣導致中學生數學應用意識與實踐能力仍是一個盲點.
（三）新的課程改革促使數學應用再掀
2012年起，浙江省在全省范圍內進行大規模的課程改革，增大選修課程的學分，以數學建模為核心的數學應用教學研究在浙江大地展開，2014年浙江高考數學中，一道閃亮的應用題誕生，可以預見數學應用問題的教與學會再掀！
關鍵詞:海盜問題 數學 研究性學習
數學不好學,更不好教。很多學生感嘆:“數學太難了!”不論是在職教還是普教,數學教學面臨的挑戰都很大。筆者認為研究性學習不失為一種教學方法,它與發現法類似,但更具可操作性。在研究性學習中,學生是研究學習的主體,教師是以平等參與者的身份介入,是組織者、參與者和指導者,教師“指導不指令,參謀不代謀”,體現學生學習的自主性。開學初,筆者和學生談到數學的研究性學習,有學生說:“數學有什么好研究的,不就是死記硬背一大堆復雜的公式定理,永遠是做不完的練習題,只要懂簡單計算就夠用了,什么數學思維和數學素養一點用都沒有?！痹谶@種情況下,一時半會很難改變學生對數學的誤解。
于是,筆者采取了圍魏救趙的策略。筆者問學生:“據說在美國有一道關于海盜的問題,如果能在20分鐘內得出正確答案的人,平均年薪在8萬美金以上,大家是否有興趣試看看?”
5個海盜劫得100顆鉆石,這100顆鉆石大小與價值相等?，F在他們準備瓜分這100顆鉆石,5個人抽簽為A、B、C、D、E。先由A來提出分配方案,然后投票表決,半數或半數以上同意則分配方案通過,并按此分配;如沒有通過,他將被丟下大海喂鯊魚!然后再由B來提出方案,依此類推。問題如下:如果你是A,你將如何分配,既讓自己財富盡可能最大,又能保證不被丟下大海!注意海盜們都是絕頂聰敏且理智抉擇的人。
學生果然來了興趣,對于這個看似簡單的問題爭相發言,20分鐘很快過去了,沒人能給出正確答案。下課的鈴聲響了,學生還不肯罷休,于是筆者提出讓學生在課外繼續思考這個問題,下次派代表解答,不過到時筆者也會多問一個與此相關的問題。當筆者走出教室時,心里暗喜,學生們或許還沒想到,其實他們已經開始了數學的研究性學習了。
兩天后,當筆者再次走進教室,就看到班上學生都面帶笑容,最前面的學生告訴筆者:“老師,鉆石分好了!”
筆者就等學生這句話,于是說:“請派代表來回答,不過按約定,等代表把方案拿出來,我要多問一個相關的問題?！睂W生興奮不已,他們把數學科代表推選上來,科代表在黑板上寫下:
A B C D E
98 0 1 0 1
筆者拿起紅粉筆,打了個大大的勾,全班鼓掌,科代表更是一臉得意?？拼碚呦轮v臺時,筆者叫住他:“稍等,還有一個相關的問題?！比嘁幌伦影察o下來,幾十雙眼睛都看著筆者,科代表顯得更緊張。筆者不緊不慢:“請問,這個方案的正確性怎么解釋?”這下全班鴉雀無聲,科代表愣了神,最后他忐忑地說:“老師,我們回家上網用百度找到這個方案的,不過,我說不清楚為什么,我錯了。”泄氣的表情寫在所有學生臉上,筆者笑了笑:“懂得用互聯網在信息資源中找答案,很好啊,希望大家以后課外繼續用計算機來研究問題。但光知道答案,不認真鉆研,淺嘗輒止,講不出道理還是不夠的,這樣吧,回去再看看資料,討論一下,看看下次能否解釋清楚,不過有言在先,下次要多問一個相關的問題?！睂W生的勁頭又起來了。
在后面的幾次課,筆者課前都先安排幾分鐘時間,點到為止,陸續提出了下面的問題:
如果其他條件不變,海盜數逐個增加,方案如何改變?
從這個方案,你能分別歸納出奇數個海盜和偶數個海盜分配方案的規律嗎?
如果其他條件不變,海盜數按班上的同學數來算,那最先提出正確方案的海盜能拿到多少顆鉆石?
如果其他條件不變,鉆石數達到多少顆會迫使擁有最先提出方案的海盜棄權?
其他條件不變,假設海盜有n名,鉆石有m顆,那么n與m要滿足怎樣的關系才不會迫使擁有最先提出方案權的海盜棄權?
一個個問題讓學生在糾結與興奮之間反復了好一段時間,學生最后發現,他們哪里是在幫海盜分鉆石,他們是在自己研究數學,對數學的反感淡化了,開始愿意用心聽,能夠用心想,上數學課居然幾乎沒人趴著睡。這讓筆者感到意外,聊天時問學生為什么改變,學生說:“數學似乎有點用,學點數學不會OUT了?！逼鋵?最重要的是數學研究性學習讓他們都獲得了成就感。
筆者把這個海盜問題和普通高中的數學教師進行教研交流,他們也在普高的課堂上進行了實驗,普高學生還寫出了詳細的研究報告,效果很不錯。于是,筆者把這個案例整理出來,希望對大家的數學研究性教學有所助益。
參考文獻:
[1]韋斯特伯里.科學、課程與通識教育——施瓦布選集.中國輕工業出版社,2008.
[2]韓昌洙.千萬別恨數學.中信出版社,2004.
【關鍵詞】初中數學 問題鏈 設計研究
在一堂課的教學中，教師的“提問”環節往往是很重要的，它既保證學生對已有知識的探究心，又能激發他們對未知知識的求知欲，有趣的問題能引導他們主動投入學習，有針對性的問題能讓他們向學習中的弱項努力，教師通過一環又一環的“提問”來引導學生從研究的角度進入知識的學習，這個時候，因為“問題”已經連成了串，“問題鏈”概念就應運而生。
一、利用知識的多角度性設計“問題鏈”
教學中，“提問”環節，自有其多角度性，提問的切入點不同，則同一個問題問法也不同，每一個學生對新鮮的事物都保持有一定的好奇心，而新鮮的知識則更能讓產生了好奇心的學生，更加投入到對問題的學習，而好的“問題鏈”需要做到的是，在整個提問過程中，將這一點從開始有效的保持到最后，要做到這一點，找準提問角度是很重要的。
現以“一元二次方程的解法”舉例：一元二次方程是一種同時擁有多種解法的方程。教師從頂點展開問題鏈：
師：我們都知道一元二次方程是二次函數的一個部分，利用它的頂點式，可以求出所有的一元二次方程的解，那么，我們還能不能用其他方法來求一元二次方程的解呢？
此時學生通過教師的問題進入探究，教師繼續展開問題鏈。
師：已知完全平方公式，我們能不能從這個角度切入？
生：理論上，如果能將一元二次方程中的二次項系數轉為1，常數移到等號右邊。最后兩邊同時加上1次項系數一半的平方。讓方程達到左邊為完全平方式，右邊為常數。就可以用完全平方公式進入解法。
師：如果以“配方法”繼續進入推導？能不能再切入其他角度？
在這個“問題鏈”中，教師通過引導學生對“一元二次方程解法”的多角度解法切入，會帶給學生一種新鮮感，原來不同角度看方程會出現不同解法，他們自然覺得有趣，也會愿意繼續探究。這樣就保證了問題鏈的有效。
二、利用知識的可持續性設計“問題鏈”
在數學知識的教學中，學生學到的知識一般都具有可持續性，數學的大綱本身就是一個由易到難的計算過程，而這也正是“問題鏈”概念的特征之一，我國古代有句俗話叫“溫故而知新”利用知識的持續性，從舊的知識引入第一個“提問”，再在后續“提問”中不斷引出新的知識，這樣的過程不僅能降低學生對新知識的畏懼感，還能讓他們對新知識產生親切感。而親切感的產生會讓學生的學習態度更自然，可見，做好新舊知識的“問題鏈”銜接，也是保證問題鏈有效性的關鍵。
以“有理數”的教學為例，教師通過舊知識的引入展開“問題鏈”。
師：我們都學過有理數的基礎概念。同學們還記得么？
生：以0為分界，正整數大于所有負整數，所有正整數都可以成為分數的分母。此時，學生復習完成，教師圖片引入新知識
根據上圖，教師繼續展開“問題鏈”。
師：通過上圖我們觀察到了什么？
生1：線條有箭頭，它是從左到右而畫，它像一把尺。
生2：線條上的數是依據“整數概念”而標。左負右正，左右對應且相同。
生3：這條線上數字與點對應，且什么數字都有，正數，負數，分數。
師：以1舉例，在這個數字線條上，左邊是-1，右邊是1，左右之間，互為什么？
生：相反
師：所有不同類型的數字都能和點對應，要如何概括？
生：說明原點對所有類型的數都可以進行表達。
由這個“問題鏈”可以看出，教師提問舊知識，學生馬上就在教師出示的新知識中帶入舊的知識，教師從學生的觀察結論中不斷深入提問，學生每一步的回答都獲得了新知識的延伸，他們獲得了想要的知識和樂趣?！皢栴}鏈”的有效性就得到了保證。
三、利用知識的可探究性設計“問題鏈”
數學教師都知道，“數”這個概念雖然是單一性理解，但是它卻有無限變化的排列組合特征，這也就是知識的可探究性。通過知識的“可探究性”來設計“問題鏈”是利用學生在“不斷發現”中獲得的樂趣，來保證他們在“問題鏈”的教學模式中，全過程主動投入，學生一旦投入主動，則對所有知識的學習都會事半功倍。所以，利用好知識的可探究性，也是很重要的。
以“角”為例，教師首先以生活中常見的物體，以舉例模式展開引入。
師：我們的生活中都離不開各種各樣的圖形，比如黑板是長方形，你們的凳子是正方形，教師的裝飾是三角形，那么他們有什么共同特征？
生：都有角。
師：觀察發現，所有的角都由兩條線構成，過往學習中，兩條線交叉會形成什么？
生：點。
師：那么角由什么構成？
生：經過同一點的兩條直線交叉。
師：通過兩條直線交叉都可以形成怎樣的角呢？同學們可以運用自己手中的尺子和筆來畫一畫，量一量？
在這個問題鏈中，教師由舉例引入“角”的概念，同時引導學生實踐動筆，課堂知識圍繞“角”的形成展開討論，通過學生的手動實踐，他們會發現一些共同點，此時教師繼續展開問題鏈引導學生觀察，所有組成正方形的角都是90°組成三角形的角都小于90°學生由此發現，雖然線可以組成許多種角，但是角度確有共通之處，他們會覺得有趣，由此可見問題鏈中探究性的重要。
總結
關鍵詞：小學數學；解決問題；策略
中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）11-115-02
解決問題的價值不只是獲得具體問題的解，更多的是學生在解決問題過程中獲得的發展。其中主要的一點，在于使學生學習一些解決問題的基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，并在此基礎上形成自己解決問題的某些策略。通過分析學生解決問題過程中，本研究在進行文獻分析和比較的情況下，認為經常用到的一些策略有以下幾項：
一、猜想
猜想，就是先猜一猜，再嘗試進行驗證。如，在下面算式的中填入六個質數，使算式成立。（當然，猜想時學生首先要知道什么是質數，用質數填空，每一個數字最大不超過10，即10以內的質數2、3、5、7。）
根據題目要求，學生首先想到第二個加數的個位分別可填2、3、5，但是得到的和的個位數都不是質數，于是填寫7。7+6=13，個位是3，是一個質數，符合要求。
第二步嘗試，第一個加數的十位數填2，加上8及進位1， 2+8+1=11，11的個位數不是質數，因此改為填3，經檢驗，和的十位數為2，是個質數，符合要求。填5或者7，檢驗和的個位都不是質數，因此只能填3。
接下來考慮，第二個加數的百位數。如果填2，再加進位1，9+2+1=12，個位2符合要求；如果填3，再加進位1，9+3+1=13，個位3也符合要求；如果填5，再加進位1，9+5+1=15，個位5也符合要求；如果填7，再加進位1，9+7+1=17，個位7也符合要求；因此，第二個加數的百位數可以填2、3、5、7四種。
經過嘗試和檢驗，發現這道題可以有四種答案。見下面答案：
二、畫圖
小學生由于年齡局限，對于符號、運算性質等的推理可能會有一些困難，適時的讓他們在本上畫一畫，可以拓展學生解決問題的思路，幫助他們找到解決問題的關鍵。通過畫圖能夠把一些抽象的數學問題具體化，復雜的問題簡單化。
對于條件開放的題目，小學生常常容易被迷惑，以為只有一種答案。實際上有的題目不止一種情況，答案也會有好幾種。如下題：
甲乙兩人分別從公路上的A、B兩處同時出發，相向而行。如果甲每秒鐘走1米，乙每秒鐘走0.8米，10分鐘后兩人相距50米。求A、B兩處相距多少米？
四、置換
置換就是把兩種或者兩種以上的不同物體統一為一種物體，即用一種事物代替另一種事物，借以簡化題意。如下題：學校買來360個羽毛球，分別裝在4個大盒和4個小盒里，如果每個大盒同2個小盒裝的同樣多。問：每個大盒與小盒各裝多少個羽毛球？
思考：可以把其中的一種盒子置換成另一種盒子，如2個小的等于1個大的；4個小的等于2個大的；這樣原題就可以簡化為：把360個羽毛球可以裝在6個大盒中或者12個小盒中。因此1個大盒可裝360÷6=60（個），1個小盒可裝360÷12=30（個）。
五、逆推
逆推，也叫反推或者還原，就是從反面去思考，從問題的結果出發，一步一步退回到已知信息，從而找到解決問題的辦法。當我們解決問題時遇到了障礙，有困難的時候，可以換個角度思考，或許會出現柳暗花明又一村的美景。
一、基于“導學模式”的問題設計原則
1.問題要具有啟發性。數學是一門邏輯性較強的學科，問題的設計要和學生的思維同步，遵循學生思維的規律，因勢利導，從而讓學生借助問題找到突破口。高中數學推理性較強，設計問題時要考慮課堂教學時間，要讓學生的思維受到啟發。思考的時間非常重要，如果問題難度大，而思考的時間又倉促，容易讓學生產生退縮的情緒，所以說要使問題有啟發性就要設計精而準的問題，如果在課堂上出現太寬泛且簡單的問題，學生的思維就會停留在機械的回答上，這樣違背了高中數學的教學規律。
2.問題要具有層次性。構建高中數學的“問題導學”模式，教師不能只關注結論，還要關注問題在結論推導過程中的動態變化的因素，立足學生的數學認知基礎和綜合能力水平，設置有層次性的問題，引導學生結合已有知識去推導、驗證。有層次性的問題能讓學生感受探索過程的樂趣，獲得學習上的自信與動力。
二、基于“導學模式”的問題導入策略
1.在思維啟發處導入問題，激發探究欲望
教師在設計問題情境時要考慮高中生的生活閱歷和數學認知特點，挖掘教材中蘊含的思維性較強的問題因素，讓學生的思維被情境中的問題所吸引，使學生在情境中主動發現問題，提出問題，進而解決問題。
例如，在學習人教版高中數學必修一“函數的奇偶性”時，如何讓學生快速切入新課探究，理解函數的奇偶性及其幾何意義呢？在課堂教學時，我讓學生拿出一張紙，先在紙上畫出平面直角坐標系，然后在第一象限任畫一可作為函數圖像的圖形，當學生完成這個步驟后，出示兩個操作情境及其問題：1.以y軸為折痕，將紙進行對折，然后在紙的背面（即第二象限）畫出第一象限內圖形的痕跡，再將紙展開，觀察坐標系中的圖形。問題：將第一象限和第二象限的圖形看成一個整體，則這個圖形可否作為某個函數y=f（x）的圖像？若能，請說出該圖像具有什么特殊的性質，函數圖像上相應的點的坐標有什么特殊的關系。2.以y軸為折痕，將紙進行對折，然后以x軸為折痕將紙對折，在紙的背面（即第三象限）畫出第一象限內圖形的痕跡，然后將紙展開，觀察坐標系中的圖形。問題：將第一象限和第三象限的圖形看成一個整體，則這個圖形可否作為某個函數y=f（x）的圖像？若能，請說出該圖像具有什么特殊的性質，函數圖像上相應的點的坐標有什么特殊的關系。在教學過程中，教師緊扣本課教學內容，以動手操作入手，借助問題啟發學生的思維，讓學生從直觀的操作逐步過渡到抽象的函數學習。
2.在思維關鍵處導入問題，突破教學難點
課堂教學是一個動態變化的過程，“問題導學”要緊扣教材和學生的思維。如果學生在學習過程中出現思維“盲區”時，教師巧妙地導入問題，能點撥學生的思維，從而化解教學難點，使學生在攻破問題的同時也獲得能力的提升。
關鍵詞：高等數學；多維互動；教學方法；改革
中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2017）06-0020-01
“高等數學”是大學生必須掌握的一門基礎課程，它不但能培養大學生的思維能力，而且能培養大學生解決問題的能力。所以，在教學手段多樣化的今天，提升“高等數學”的教學水平，是教育持m發展的關鍵所在。因此，本文從“高等數學”教學現狀、改革“高等數學”教學方法的探索兩個方面研究高等數學教學方法，并提出合理化建議。
一、“高等數學”教學現狀
首先，學生對“高等數學”學習的興趣不高。根據問卷調查，有31.30%的學生選擇“不感興趣”，有13.80%學生選擇“特別感興趣”。其次，對“高等數學”作為基礎性學科和工具學科的重要性認識不足。在問卷調查中，只有7.50%的學生認為學習“高等數學”對以后專業學習有幫助，有23.90%的學生認為一點沒有幫助。
二、改革“高等數學”教學方法的探索
1. 翻轉課堂：探索小班化教學
翻轉課堂就是在信息化環境中，課程教師提供以教學視頻為主要形式的學習資源，學生在上課前完成對教學視頻等學習資源的觀看，師生在課堂上一起完成作業答疑、互動交流等活動的一種新型的教學模式。比如，教師在講授“多元復合函數的求導法則”這一節內容時，可讓學生在指定的時間內觀看完相關視頻，并在網絡上提出自己的問題。這樣，教師就可以對全班同學的問題進行歸納，分成以下兩個方面解答：一方面是教材里面沒涉及到的復合函數如何求導；另一方面是抽象多元復合函數如何求導，尤其是對二階導數進行求解。依據學生提出的這兩大方面及上傳的有關題目，教師可以選擇代表性的題目讓學生在上課的時候積極探討。在實際教學過程中，為了檢查學生自主學習的情況，首先教師可以依據視頻內容，事先用數學課本上提到的復合函數測試學生。這里值得一提的是，該環節是不可或缺的，要不然就不能使學生達到自主學習的目的。接著，教師依據總結的幾點問題，尊重學生的意愿，將全班學生分成多個小組，并由小組中的“組長”選題。然后小組成員相互討論，對選擇的題目進行研究，教師在適當的時候加入到小組中加以引導。最后，對每一個小組將所得出來的結論進行分析，其他小組做好相應的評價。
2. 問題引領：探究師生的教與學
教師在教學過程中通過一連串的問題設置，將教學內容巧妙地融合在問題中，讓學生情不自禁地陷入探究問題的情境中，從而發揮學生學習的主體作用。教師可以將問題當作主要線索，采取恰當的方式設計一堂課程。比如，教師在講授“不定積分概念”一課時，可用一系列的問題將這節課所講授的知識點穿插起來。教師提問：給出速度函數，怎樣得到路程函數？將這個問題轉變成已經知道的導函數，怎樣得到這個函數，進而將原函數的概念引出來？函數符合哪些要求具有原函數，倘若存在的情況下，那么原函數是唯一值嗎？倘若不是唯一存在的，那么原函數之間存在什么聯系？接著教師引導學生對原函數所存在的聯系進行研究，將原函數的表達形式引出來。最后教師從不定積分的概念入手，設置一系列的問題，引導學生學會發現問題，并培養他們解決問題的能力。
3. 以學定教：激發學習動機和熱情
興趣是激發學生求知欲最直接的方式，當學生有了興趣以后，就會主動地投入到學習中，在課后也會提前做好預習。比如，在講授“方向導數”這一課時，教師舉例：有一個金屬板的形狀是一個長方形，四個頂點的坐標分別為（1，1），（5，1），（1，3），（5，3），在這個坐標的原點位置上有一處火焰，它可以促使金屬板變熱，倘若金屬板上面任何一個地方的溫度都和該點到原來地方的距離成反比，而在坐標（3，2）的位置上有一只螞蟻，那么這只螞蟻從什么地方開始爬行能夠在最短的時間內到達涼爽的地方？這個實際性的問題可以激發大學生的求知欲，促使學生帶著疑問學習新知識。又如，在講授“極限定義”這一課的過程中，為了使學生進一步掌握極限思想，教師可將劉徽的“割圓術”講述給學生聽，學生就會對這節課的內容產生興趣，進而激發他們的求知欲望和探索欲望，帶著好奇心投入到這節課的學習中。這樣，既培養了學生發現問題、解決問題的能力，又提升了教學質量。
三、結束語
綜上所述，完善高等數學教學手段是一項漫長而又艱巨的任務。因此，教師不僅僅要傳授給大學生知識，更要培養大學生遇到問題時解決問題的能力。特別是對大學生思維方式的培養，一直是高等數學教學的發展方向。
參考文獻：
關鍵詞：小學數學；問題情境創設；問題
隨著新課程改革的概念在全國的全面推廣，對小學數學教學也提出了更高的要求，開發問題背景，是一種較為先進的教學方式。學生的綜合能力可以充分發揮作用，對增強學生學習能力具有十分重要的意義。但對當前小學教學情境，開發問題背景的教學技巧在教學過程中的應用尚未得到普及，本文在開發問題背景的學習情況下，就如何促進小學教學質量的改進進行了探討，以便更好地滿足學生的發展需要。
一、問題情境創設的原則
1.針對性原則
在提出數學問題的情況下，一般學生的思維處于起步階段，有探索新知識的創造傾向，目的是在這種背景下，引導學生發現問題，找出發現今天研究探討數學問題的各種數學公式。因此，創設情境必須有明確的目的性和針對性，通過學習任務來開展，必須把重點放在教學課程內容上。否則，即使是在教師擁有最好問題的情況下，也不能順利地完成任務。創設數學問題的課堂模式，可以避免“學生心不在焉”的尷尬，可以讓學生將精力都投放在課堂上。
2.趣味性原則
興趣是最好的老師，所以，應該讓學生有濃厚的學習興趣，擁有自然萌發的參與感，從而可以順利地進入自主學習、主動探索的狀態。因此，創設的數學問題必須是新穎的、獨特的、生動的，這種教學模式能夠對學生產生吸引力，可以引起學生的關注和激發學生的興趣。現代心理學家認為：思維階段分為：發展直覺行動思維―直覺思維和所遇到的具體形象思維―具象思維―抽象邏輯思維等三個階段。以新生和二年級學生為主，是一個直觀的動作思維，隨著具體形象思維逐漸增加，進入三、四年級，并逐漸開始具體的形象思維，到了五、六年級，具體和抽象思維逐漸成熟，邏輯思維能力逐漸在學生腦中形成。也就是說，低年級學生比初中和高中的學生更關心的是“好玩、有趣、新奇”的問題，如，動物、游戲、童話；而中年級學生更關心的是“有用和具有挑戰性”的問題；高年級學生更感興趣的是“具有刺激性”的問題。通過教師開發問題；背景，我們必須充分考慮學生的思維特點，在生動、有趣的情況下，激發學生的學習動力。
二、問題情境創設的策略
1.培養小學數學教師的問題情境意識
在小學數學教學過程中，開發問題背景是提高教學質量的重要途徑，良好的數學問題情境引導，可以讓學生掌握更多的數學知識，并能充分激發學生的學習興趣，促進學生綜合素質提高。在新課程理念要求下，教師應該讓學生在學習數學的過程中運用更生動具體的故事。教師創造問題情境是課堂的關鍵，是激發學生學習興趣的重要方法，這就是問題情境教學質量很大程度上建立在依賴于教師的整體素質的情況下。但從目前發展初等學校數學教學的情況來看，問題是對于情況的認識不足以及一些教師在不是充分了解問題的情況下，創設錯誤的問題情境，從而嚴重地影響課堂教學質量。
2.問題情境設計要來源于生活
數學是一門比較枯燥的課程，如果一個教師講課過程中，一味地向學生灌輸需要記住定理、公式，很快就會磨滅學生的學習興趣，并最終影響到課堂教學質量。在這種情況下，在設計過程中，教師應注重教學問題和實際生活情況相結合，讓學生在實踐中感到學習數學的價值。
3.把問題情境故事化
聽故事是兒童最感興趣的事情，尤其是低年級學生具有形象思維的特點。教師根據教學內容的特點和兒童的需要用他們喜愛的故事來吸引孩子的眼球，加深他們對知識的理解，提高他們的數學審美觀。開發問題背景，能夠有效地調動學生的積極性，使學生在愉快的氣氛中，不僅可以學到知識，還可以感受到學習的快樂。
4.把問題情境活動化
學生在課堂中通過自己動手解決問題，并和小組伙伴密切研究，可以讓大腦對客觀事物的感知進入一個動態的過程，這個過程是考慮到內部語言模式內的情報過程和外部動作的情況下創設的。實踐活動開發問題背景是培養學生質疑能力的重要途徑，通過促進學生自主學習，讓學生獲取數學知識，學生通過自己的實踐經驗，在大腦中形成了最令人印象深刻的記憶，這樣記得最牢。教師要改變過去傳統的課堂教學模式，讓學生對社會生活得以了解，讓課堂學習貼近生活，從而提高教學課堂數學效率。
參考文獻：
[1]孔企平.小學數學教學的理論與方法[M].上海：華東師范大學出版社，2011.
[2]張璽恩.中國著名特級教師教學思想錄[M].南京：江蘇教育出版社，2012.
關鍵詞：高中數學；教學效果；問題導學法
問題導學法在高中數學教學中的運用十分廣泛，在激發學生的學習興趣等方面發揮著重要的作用。
一、課堂導入
課堂導入環節在高中數學課堂教學中作為起始階段，是影響課堂整體教學效率的重要組成部分。在問題導學法中，筆者認為運用情境有利于進行成功的課堂導入。教師可在課程開始之前分析教學內容，并結合學生當前的學習狀況，創設恰當的課堂教學情境，進而引起學生的注意，成功進行課程導入。
例如，在學習長方體相關知識的過程中，教師可運用多媒體或在生活中收集的與長方體相關的場景制作成視頻。課堂內學生的課桌就是典型的長方體模型，而教室本身也是長方體。教師可以以此進行課堂導入，主要方式為提問，如：長方體本身的什么性質促使它能夠廣泛地運用于現實生活中？在提出相關問題之后，學生開始進行思考，經過思考后給出形狀、體積等不同答案。接著，教師可順利地對長方體的性質進行更為詳細的講解。
二、創建生活情境
引入并創建生活中的情境：將生活情境直接運用于數學課堂當中，并將其與數學知識進行有效結合，引導學生自主尋找解決難題的方法。但是，在向學生展示該生活情境之前，教師需對情境的相關內容進行詳細講解，并適當引導學生將其與課堂學習內容相結合，幫助學生尋找最為有效的解決方案。在學生求解答疑的過程中，教師應重點發展學生的思考能力。
例如，在學習排列組合相關知識的過程中，教師可先引入與排列組合知識有直接聯系的生活情境。如，這里有100個籃球，其中，紅色的有60個，綠色的有40個。將這些球分別放在兩個不同的盒子中，在這兩個盒子中分別拿出一個球，拿到紅色球的概率是多少呢？這是一道標準的數學排列組合題，學生難免會進入迷糊的思考狀態。因此，教師可更換為一個類似的生活情境問題：一共有三把椅子，有6個學生坐，小明每次都能夠坐到椅子的概率為多少？接著教師可預留一定的時間給同學，在學生闡述不同解答方式和答案之后，教師再引入排列組合的知識，并在最后對學生的答案進行驗證。
問題導學法在高中數學教學中具有較大的適應性，能夠綜合數學學科中各個不同知識要點并與生活場景相聯系，具有廣泛的實踐意義。
